Qeyd: doğrudur ki, hər məhdudlaşmış ardıcıllıqkonvergent alt ardıcıllığı ehtiva edir və üstəlik, hər bir monoton ardıcıllıq yalnız və yalnız məhdud olduqda birləşir. Əlavə edilib Məhdud monoton ardıcıllıqların zəmanətli yaxınlaşması haqqında ətraflı məlumat üçün Monoton Konvergensiya Teoremindəki girişə baxın.
Hər məhdud ardıcıllıq R-də birləşirmi?
Teorem bildirir ki, R -dəki hər bir məhdud ardıcıllıq konvergent alt ardıcıllığına malikdir. Ekvivalent tənzimləmə R alt çoxluğunun olmasıdır. yalnız qapalı və məhdud olduqda ardıcıl olaraq yığcamdır. Teorem bəzən ardıcıl yığcamlıq teoremi adlanır.
Hər məhdudlu həqiqi ədədlər ardıcıllığı yaxınlaşırmı?
Cavab və İzahat: (a) Hər bir məhdud ardıcıllıq konvergentdirmi? Xeyr.
Hər məhdud monoton ardıcıllıq birləşirmi?
(−1)n, birləşir kimi bütün məhdud ardıcıllıqlar deyil, lakin məhdud ardıcıllığın monoton olduğunu bilsəydik, bu dəyişəcək. əgər bütün n ∈ N üçün an ≥ an+1 olarsa. Ardıcıllıq ya artır, ya da azalırsa monotondur. və məhduddur, sonra birləşir.
Bütün məhdud ardıcıllıqların konvergent alt ardıcıllığı varmı?
Bolzano-Weierstrass teoremi: Rn-də hər bir məhdud ardıcıllığın konvergent alt ardıcıllığı var. {xmk } real ədədlərin məhdud ardıcıllığıdır, ona görə də onun da konvergent alt ardıcıllığı var, … Əksinə, hər bir məhdud ardıcıllıqqapalı və məhdud çoxluq, ona görə də onun konvergent alt ardıcıllığı var.
